注意：本文不会介绍匈牙利算法本身，关于该算法见这一篇博客。本文不写是因为这一篇写得实在是很好。

        本文是这篇文章的延伸。

        二分图匹配是一类图论问题，首先需要认识什么是匹配。

【匹配】给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。(来自百度百科)

        在所有匹配中，边数最多的匹配称为二分图最大匹配。求最大匹配的算法便是匈牙利算法，下面用洛谷P2055假期的宿舍来应用匈牙利算法。

题目描述

        学校放假了 · · · · · · 有些同学回家了，而有些同学则有以前的好朋友来探访，那么住宿就是一个问题。

        比如 A 和 B 都是学校的学生，A 要回家，而 C 来看B，C 与 A 不认识。我们假设每个人只能睡和自己直接认识的人的床。那么一个解决方案就是 B 睡 A 的床而 C 睡 B 的床。而实际情况可能非常复杂，有的人可能认识好多在校学生，在校学生之间也不一定都互相认识。

        我们已知一共有 n 个人，并且知道其中每个人是不是本校学生，也知道每个本校学生是否回家。问是否存在一个方案使得所有不回家的本校学生和来看他们的其他人都有地方住。

输入输出格式

输入格式：

        第一行一个数 T 表示数据组数。接下来 T 组数据，每组数据第一行一个数n 表示涉及到的总人数。

        接下来一行 n 个数，第 i 个数表示第 i 个人是否是在校学生 (0 表示不是，1 表示是)。再接下来一行 n 个数，第 i 个数表示第 i 个人是否回家 (0 表示不回家，1 表示回家，注意如果第 i 个人不是在校学生，那么这个位置上的数是一个随机的数，你应该在读入以后忽略它)。

        接下来 n 行每行 n 个数，第 i 行第 j 个数表示 i 和 j 是否认识 (1 表示认识，0 表示不认识，第 i 行 i 个的值为 0，但是显然自己还是可以睡自己的床)，认识的关系是相互的。

输出格式：

        对于每组数据，如果存在一个方案则输出 “^_^”(不含引号) 否则输出“T_T”(不含引号)。(注意输出的都是半角字符，即三个符号的 ASCII 码分别为94,84,95)

输入输出样例

Sample input

1
3
1 1 0
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 0

Sample output

^_^

说明

对于 30% 的数据满足 1 ≤ n ≤ 12。

对于 100% 的数据满足 1 ≤ n ≤ 50,1 ≤ T ≤ 20。

题解

        这就是一道二分图最大匹配问题了，匹配是指人与床的匹配。根据认识关系建立二分图，在上面应用匈牙利算法即可找到最大匹配边数，进而判断是否可以为每一个人找到床位。

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#include<iostream>

using namespace std;
struct {
    int to, next;
} edge[5000];
int head[55], cnt = 1, n, x, vis[5005] = {0}, isSchool[55] = {0}, isHome[55] = {0}, bed[55] = {0}, ans, maxn;

inline void add(int x, int y) {
    edge[cnt].to = y, edge[cnt].next = head[x], head[x] = cnt++;
}

bool f(int x) {//匈牙利算法部分
    for (int i = head[x]; ~i; i = edge[i].next) {
        if (!vis[edge[i].to]) {
            vis[edge[i].to] = 1;//可以理解成暂时占用
            if (!bed[edge[i].to] || f(bed[edge[i].to])) {
                bed[edge[i].to] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n, cnt = 1, ans = 0, maxn = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)head[i] = -1, bed[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> isSchool[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> isHome[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++)if (!(isSchool[i] && isHome[i]))maxn++;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                cin >> x;
                if (isSchool[j] && x)add(i, j);
                else if (i == j && isSchool[i])add(i, i);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++)vis[j] = 0;
            if (!(isSchool[i] && isHome[i]) && f(i))ans++;
        }
        if (ans < maxn)cout << "T_T" << endl;
        else cout << "^_^" << endl;
    }
    return 0;
}

扩展

        二分图除了最大匹配之外，还有两类问题比较常见，一是最小点覆盖问题，另一个是最大独立集问题。

最小点覆盖

        在二分图中选取若干个点，每选取一个就相当于覆盖了以其为端点的边，求使得所有边都被覆盖的最小点数目。
        求法：最小点覆盖数目就是最大匹配。

最大独立集

        在二分图中选取若干个点，使得它们两两不相邻，则称这样的点的集合为一个独立集，求独立集点的最大数量。
        求法：最大独立集点的数目就是总点数与最小点覆盖的差。