[HDU6439]Congruence equation

        [HDU6439]Congruence equation。单独整理的题一般难度都比较大,其实是因为我WA了6发

题解

        先考虑如何处理:

        根据裴蜀定理,我们知道上式有解等价于$gcd(m,C_1,\cdots,C_k)=1$。
        当$A$不全是$-1$时,考虑所有已经存在的数。
        如果已经存在的数的最大公因数为$g$,则$gcd(m,C_1,\cdots,C_k)=1$必然也是$g$的因子。因此,我们在$g>0$的时候,可以较快地统计答案。
        具体来说,当固定一个$m$时,答案应该是:

        对右侧莫比乌斯反演:

        只统计$g$的因子:

        那么总共的答案当然就是:

        于是我们只需要求出最大公因数$g$,然后$O(\sqrt n)$地求出它的所有因子,然后枚举因子得到答案。右侧的求和式需要使用伯努利数求和得到,该操作的预处理复杂度为$O(k^2)$,求和复杂度$O(klogk)$。
        当全部的数都是$-1$或者$g=0$时,我们无法得到一个有效的最大公因数来确定答案域,从而降低复杂度。从上文的推导过程不难发现,此时的答案为:

        利用整除分块配合莫比乌斯函数前缀和可以快速地求出这个和。但是由于$n$很大,我们需要使用杜教筛,这样处理前缀和的复杂度为$O(n^{\frac{2}{3}})$,考虑到伯努利数求和复杂度为$O(klogk)$,所以总复杂度可达$O(n^{\frac{2}{3}}klogk)$。
        综合考察伯努利数,莫比乌斯反演,整除分块以及杜教筛,可以

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7, N = 5000000;
typedef long long ll;
int C[60][60], S[60], B[60];
int ms[N + 5], vis[N + 5], prim[N + 5], tot;
unordered_map<int, int> mmp;
inline int qpow(int x, int y)
{
int ans = 1, sta = x;
while (y) {
if (y & 1) ans = 1ll * ans * sta % mod;
sta = 1ll * sta * sta % mod, y >>= 1;
}
return ans;
}
inline int inv(int x)
{
return qpow(x, mod - 2);
}
void init()
{
ms[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
if (!vis[i]) ms[i] = -1, prim[++tot] = i;
for (int j = 1; j <= tot; j++) {
if (1ll * prim[j] * i > N) break;
vis[i * prim[j]] = 1;
if (i % prim[j]) {
ms[i * prim[j]] = -ms[i];
} else {
break;
}
}
}
for (int i = 2; i <= N; i++) ms[i] = (ms[i] + ms[i - 1]) % mod;
C[0][0] = C[1][0] = C[1][1] = 1;
for (int i = 2; i < 60; i++) {
C[i][0] = C[i][i] = 1;
for (int j = 1; j < i; j++) C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mod;
}
B[0] = 1;
for (int i = 1; i < 60; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) B[i] = (B[i] + 1ll * C[i + 1][j] * B[j] % mod) % mod;
B[i] = -1ll * B[i] * inv(i + 1) % mod;
}
}

int getMuSum(int x)
{
if (x <= N) return ms[x];
if (mmp.count(x) != 0) return mmp[x];
int ans = 0, l = 2, r;
while (l <= x) {
r = x / (x / l);
ans = (ans + 1ll * (r - l + 1) * getMuSum(x / l) % mod) % mod;
l = r + 1;
}
return mmp[x] = 1 - ans;
}

inline int getS(int n, int d)
{
int s = 0;
for (int i = 0; i <= d; i++) {
s = (s + 1ll * C[d + 1][i] * B[i] % mod * qpow(n + 1, d + 1 - i) % mod) % mod;
}
s = 1ll * s * inv(d + 1) % mod;
return d == 0 ? s - 1 : s;
}
int gcd(int x, int y)
{
return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}
vector<int> P, yz;
inline int getMu(int x)
{
int mu = 1;
for (int i = 0; i < P.size(); i++) {
if (x % P[i] == 0) {
mu *= -1;
if (x / P[i] % P[i] == 0) return 0;
}
}
return mu;
}

int main()
{
init();
int T, k, n, a, g;
scanf("%d", &T);
for (int TT = 1; TT <= T; TT++) {
scanf("%d%d", &k, &n), a = 0, g = -1;
P.clear(), yz.clear();
for (int i = 1, x; i <= k; i++) {
scanf("%d", &x);
if (x == -1) {
++a;
} else if (g == -1) {
g = x;
} else {
g = gcd(g, x);
}
}
if (g == -1 || g == 0) {
int l = 1, r, s, ans = 0;
while (l <= n) {
r = n / (n / l), s = getS(n / l, a);
ans = (ans + 1ll * (getMuSum(r) - getMuSum(l - 1)) * s % mod) % mod;
l = r + 1;
}
printf("Case #%d: %d\n", TT, (ans + mod) % mod);
continue;
}
for (int i = 1; 1ll * i * i <= g; i++) {
if (g % i == 0) {
yz.push_back(i);
if (g / i != i) yz.push_back(g / i);
}
}
for (int i = 2; 1ll * i * i <= g; i++) {
if (g % i == 0) {
P.push_back(i);
while (g % i == 0) g /= i;
}
}
if (g != 1) P.push_back(g);
int ans = 0;
for (int i = 0; i < yz.size(); i++) {
int mu = getMu(yz[i]);
int S = getS(n / yz[i], a);
ans = (ans + 1ll * S * mu % mod) % mod;
}
printf("Case #%d: %d\n", TT, (ans + mod) % mod);
}
return 0;
}
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